已知抛物线C1:y=x2+2x和C2:y=−x2+a.a取何值时C1和C2有且仅有一条公切线l,求出公切线l的方程.
题目
已知抛物线C1:y=x2+2x和C2:y=−x2+a.a取何值时C1和C2有且仅有一条公切线l,求出公切线l的方程.
答案
函数y=x
2+2x的导数为y′=2x+2,在切点P(
x1,x12+2x)处的切线方程为
y=(2x1+2)x−x12同理,曲线C
2的在切点Q(x
2,2x
2)的切线方程为
y=−2x2x+x22+a由
可得
2x12+2x1+1+a=0,因为公切线有且仅有一条,所以△=0
∴a=-
时,P,Q重合,公切线方程为:
y=x−分别求出切线方程,从而可得方程,利用公切线有且仅有一条,即可求得结论.
直线与圆锥曲线的关系.
本题考查直线与抛物线的位置关系,考查学生的计算能力,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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