一道反三角函数的定积分题目,

题目

一道反三角函数的定积分题目,
∫ ( arcsinx )^2dx ,范围是0到1.

答案

∫ (arcsinx)² dx
= x(arcsinx)² - ∫ x d(arcsinx)²
= x(arcsinx)² - ∫ x • 2(arcsinx) • 1/√(1 - x²) • dx
= x(arcsinx)² - 2∫ x(arcsinx)/√(1 - x²) dx
= x(arcsinx)² - 2∫ arcsinx d[-√(1 - x²)]
= x(arcsinx)² + 2(arcsinx)√(1 - x²) - 2∫ √(1 - x²) d(arcsinx)
= x(arcsinx)² + 2(arcsinx)√(1 - x²) - 2∫ √(1 - x²)/√(1 - x²) dx
= x(arcsinx)² + 2(arcsinx)√(1 - x²) - 2x + C
这是不定积分
定积分就代入就有了