在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知a+b=5,c=根号7,且4(sin(A+B)/2)^2－cos2C＝7/2.

题目

在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知a+b=5,c=根号7,且4(sin(A+B)/2)^2－cos2C＝7/2.
(1)求角C的大小
（2）求△ABC的面积

答案

(1)4(sin(A+B)/2)^2－cos2C＝7/2
4[sin(π/2-C/2)]^2－cos2C＝7/2
4[cos(C/2)]^2－cos2C＝7/2
2(1+cosC)-[2(cosC)^2-1]=7/2 （半角公式和倍角公式）
(cosC)^2-cosC+1/4=0 解得cosC=1/2 ∴C=π/3
(2)根据余弦定理：cosC=1/2=(a^2+b^2-c^2)/2ab
将c=√7代入,得：ab=a^2+b^2-7=(a^2+b^2-7+2ab)/3=[(a+b)^2-7]/3=6
面积S=1/2absinC=3√3/2