f(x)是R上的奇函数,将f(x)的图象向右平移一单位,得到一偶函数图像,若f(-1)=2则f(1)+f(2)+…+f(2009)=

题目

f(x)是R上的奇函数,将f(x)的图象向右平移一单位,得到一偶函数图像,若f(-1)=2则f(1)+f(2)+…+f(2009)=

答案

由f(x)是R上的奇函数,故对任x有,f(-x)=-f(x)；将f(x)的图象向右平移一单位,得到一偶函数,故函数关于直线x=-1对称,即对任意x,f(-1+x)= f(-1-x),于是对任意x,
f(x)=- f(-x)=-f(-1-(x-1))=-f(-1+x-1) =-f(x-2)
同理f(x-2)=-f(x-4),故f(x)= -f(x-2)=f(x-4),f(x)是周期为4的周期函数,再由f(-1)=2和f(x)是奇函数得f(0)=0,f(1)=- f(-1)=-2,f(2)=-f(-2)= -f(2-4)=f(2-2)= f(0)=0,f(3)=-f(-3)= -f(1-4)=f(1-2)= f(-1)=2,
故f(1)+f(2)+…+f(2009)
=(-2+0+2+0)+(-2+0+2+0)+…+(-2+0+2+0)+(-2)=-2