梯形abcd中ad//bc,点m是cd的中点,请猜想梯形abcd的面积和角abm的面积的 数量关系

题目

梯形abcd中ad//bc,点m是cd的中点,请猜想梯形abcd的面积和角abm的面积的 数量关系

答案

梯形ABCD的面积=2三角形ABM的面积
取AB的中点N,过A作AE垂直BC于E,交MN于F
因为 M是CD的中点
所以 NM是ABCD的中位线
所以 MN//AD//BC,MN=1/2(AD+BC)
所以 AN/NB=AF/FE=1
所以 AF=FE=1/2AE
因为 AE垂直BC,MN//BC
所以 AF是三角形ANM边NM对应的高,FN是三角形NBM边NM对应的高
所以 三角形ANM的面积=1/2NM*AF=1/4NM*AE,三角形NBM的面积=1/2NM*FE=1/4NM*AE
因为 三角形ABM的面积=三角形ANM的面积+三角形NBM的面积
所以 三角形ABM的面积=1/4NM*AE+1/4NM*AE=1/2NM*AE
因为 AE垂直BC
所以 梯形ABCD的面积=1/2(AD+BC)*AE
因为 MN=1/2(AD+BC)
所以 梯形ABCD的面积=NM*AE
因为 三角形ABM的面积=1/2NM*AE
所以 梯形ABCD的面积=2三角形ABM的面积
另证：
延长AM与BC的延长线交于G
因为 AD//BC,M是CD的中点
所以 角DAM=角CGM,角ADM=角GCM,DM=MC
所以 三角形DAM全等于三角形CGM
所以 梯形ABCD的面积=三角形ABG的面积
因为 三角形DAM全等于三角形CGM
所以 AM=MG
所以 AM/AG=1/2
因为 三角形ABM与三角形ABG同高
所以 三角形ABM的面积/三角形ABG的面积=AM/AG=1/2
因为 梯形ABCD的面积=三角形ABG的面积
所以 三角形ABM的面积/梯形ABCD的面积=1/2
所以 梯形ABCD的面积=2三角形ABM的面积