已知定义域在R上的函数f(x)=ln(x+根号（x^2+1)) (1)求证：f(-x)+f(x)=0 (2)求f^-1(x)

题目

已知定义域在R上的函数f(x)=ln(x+根号（x^2+1)) (1)求证：f(-x)+f(x)=0 (2)求f^-1(x)

答案

1) f(-x)+f(x)=ln(x+√(x^2+1))+ln(-x+√(x^2+1))=ln((x^2+1)-x^2)=ln1=0
2) y=ln(x+√(x^2+1)) , e^y=x+√(x^2+1)
两边平方得e^2y=2x^2+1+2x√(x^2+1)
所以(e^2y-1)/2x=x+√(x^2+1)=e^y
所以x=(e^2y-1)/2e^y
即f^-1(x)=(e^2x-1)/2e^x(x∈R)