去冬今春,济宁市遭遇了200年不遇的大旱,某乡镇为了解决抗旱问题,要在某河道建一座水泵站,分别向河的同一侧张村A和李村B送水.经实地勘查后,工程人员设计图纸时,以河道上的大

去冬今春,济宁市遭遇了200年不遇的大旱,某乡镇为了解决抗旱问题,要在某河道建一座水泵站,分别向河的同一侧张村A和李村B送水.经实地勘查后,工程人员设计图纸时,以河道上的大

题目
去冬今春,济宁市遭遇了200年不遇的大旱,某乡镇为了解决抗旱问题,要在某河道建一座水泵站,分别向河的同一侧张村A和李村B送水.经实地勘查后,工程人员设计图纸时,以河道上的大桥O为坐标原点,以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系(如图).两村的坐标分别为A(2,3),B(12,7).

(1)若从节约经费考虑,水泵站建在距离大桥多远的地方可使所用输水管道最短?
(2)水泵站建在距离大桥多远的地方,可使它到张村、李村的距离相等?
答案
(1)作点B关于x轴的对称点E,连接AE,则点E为(12,-7)
设直线AE的函数关系式为y=kx+b(k≠0),则
2k+b=3
12k+b=-7

解得
k=-1
b=5

当y=0时,x=5.
所以,水泵站建在距离大桥5千米的地方,可使所用输水管道最短.
(2)作线段AB的垂直平分线GF,交AB于点F,交x轴于点G
设点G的坐标为(x,0)
在Rt△AGD中,AG2=AD2+DG2=32+(x-2)2
在Rt△BCG中,BG2=BC2+GC2=72+(12-x)2
∵AG=BG,
∴32+(x-2)2=72+(12-x)2
解得x=9.
所以,水泵站建在距离大桥9千米的地方,可使它到张村、李村的距离相等.
(1)为了使所修水泵站的所用输水管道最短,利用轴对称的方法画图可求;
(2)所求点要满足两个条件,到张村和李村的距离相等,可以作连接两村线段的垂直平分线,与x轴的交点即为所求.

轴对称-最短路线问题;待定系数法求一次函数解析式;勾股定理.

本题考查了待定系数法求一次函数解析式,线段的垂直平分线,轴对称的作图方法.关键是明确每条线上点的性质,合理地选择.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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