已知定点F(2,0),直线l:x=-2,点P为坐标平面上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为Q,且向量FQ⊥向量（PF+PQ）,设动点P的轨迹为曲线C

题目

已知定点F(2,0),直线l:x=-2,点P为坐标平面上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为Q,且向量FQ⊥向量（PF+PQ）,设动点P的轨迹为曲线C
1）求曲线C的方程
2）过点F的直线l1与曲线C有两个不同的交点A、B,求证1/|AF|+1/|BF|=1/2

答案

1) 由条件可知,|PF|=|PQ|,从而,动点P的轨迹C为抛物线,F为焦点,l为准线,
可得方程为y²=8x.
2) 当直线l1的斜率不存在时,易证结论成立(你自己证吧).
当直线l1的斜率存在时,设直线l1的方程为y=k(x-2),显然k≠0,代入y²=8x,得
k²x²-4(k²+2)x+4k²=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4(k²+2)/k²,x1•x2=4,
由抛物线定义知,1/|AF|+1/|BF|=1/(1+x1)+1/(1+x2)=(x1+x2+4)/[2(x1+x2)+x1•x2+4],
将x1+x2=4(k²+2)/k²,x1•x2=4代入化简即得1/|AF|+1/|BF|=1/2.