已知二次函数f(x)=ax^2+x,对于任意x1,x2∈R,比较

题目

已知二次函数f(x)=ax^2+x,对于任意x1,x2∈R,比较
已知二次函数f(x)=ax^2+x.对任意x1,x2∈R,比较1/2*[f(x1)+f(x2)] 与f[(x1+x2)/2]的大小

答案

1/2*[f(x1)+f(x2)]-f[(x1+x2)/2]
=1/2*(ax1^2+ax2^2)-a[(x1+x2)/2]^2
=a/4*(x1-x2)^2
当 a>0时 1/2*[f(x1)+f(x2)]≥f[(x1+x2)/2]
当a<0时,1/2*[f(x1)+f(x2)]≤f[(x1+x2)/2]
当且仅当x1=x2时取等号