高数微积分积分公式推导

题目

高数微积分积分公式推导
求根号下（1+x2)的积分推导过程

答案

这个是第二类换元积分；设：x=tant;dx=sec^2tdt
则 :∫sqrt(1+x^2)dx＝∫sec^3tdt=∫sectd(tant)
=sect*tant-∫sect(sec^2t-1)dt
=sect*tant-∫sec^3tdt+∫sectdt
=sect*tant+ln|sect+tant|-∫sec^3tdt
∫sec^3tdt与等号左边是一样的,移项到左边,得2＊∫sec^3tdt
将2除过来得：∫sec^3tdt=(1/2)*(sect*tant)+(1/2)*ln|sect+tant|+C
将t换回x,得：
∫sqrt(1+x^2)dx＝(1/2)*x*sqrt(1+x^2)+(1/2)*ln|sqrt(1+x^2)+x|+C
有一个推导公式是:
∫sqrt(a^2+x^2)dx＝(x/2)*sqrt(a^2+x^2)+(a^2/2)ln|sqrt(a^2+x^2)+x|+C