用夹逼定理求lim(n→∞)[√(n^2+n)-n]^(1/n)

题目

用夹逼定理求lim(n→∞)[√(n^2+n)-n]^(1/n)

答案

首先观察,√(n^2+n)-n＝n/[√(n^2+n)+n],它在n→∞时于1/2,而1/n→0.这里并没有出现类似“0^0”“1^∞”的极限不定式,因此可以猜测lim(n→∞)[√(n^2+n)-n]^(1/n)＝1.
要用夹逼定理证明这个结论,只需要证明√(n^2+n)-n在两个常数之间（这时再给它们加个1/n次方,再取极限,就都是1了）.
而√(n^2+n)-n＝n/[√(n^2+n)+n]＝n/[√(n^2+n)+n]＝1/[√(1+1/n)+1]单增,故有√(2)-1＜√(n^2+n)-n＜1/2,分析完毕.
证明：
由于√(n^2+n)-n＝n/[√(n^2+n)+n]＝n/[√(n^2+n)+n]＝1/[√(1+1/n)+1]单增,
故有√(2)-1＜√(n^2+n)-n＜1/2
[√(2)-1]^(1/n)＜[√(n^2+n)-n]^(1/n)＜(1/2)^(1/n)
故1＝lim(n→∞)[√(2)-1]^(1/n)≤lim(n→∞)[√(n^2+n)-n]^(1/n)≤lim(n→∞)(1/2)^(1/n)＝1
即有lim(n→∞)[√(n^2+n)-n]^(1/2)＝1.