已知函数f(x)=logax(a>0,a≠1),如果对于任意x∈[3,+∞)都有|f(x)|≥1成立,试求a的取值范围.

已知函数f(x)=logax(a>0,a≠1),如果对于任意x∈[3,+∞)都有|f(x)|≥1成立,试求a的取值范围.

题目
已知函数f(x)=logax(a>0,a≠1),如果对于任意x∈[3,+∞)都有|f(x)|≥1成立,试求a的取值范围.
答案
当a>1时,对于任意x∈[3,+∞),都有f(x)>0.
所以,|f(x)|=f(x),而f(x)=logax在[3,+∞)上为增函数,
∴对于任意x∈[3,+∞),有f(x)≥loga3.
因此,要使|f(x)|≥1对于任意x∈[3,+∞)都成立.
只要loga3≥1=logaa即可,∴1<a≤3.
当0<a<1时,对于x∈[3,+∞),有f(x)<0,
∴|f(x)|=-f(x).
∵f(x)=logax在[3,+∞)上为减函数,
∴-f(x)在[3,+∞)上为增函数.
∴对于任意x∈[3,+∞)都有|f(x)|=-f(x)≥-loga3.
因此,要使|f(x)|≥1对于任意x∈[3,+∞)都成立,
只要-loga3≥1成立即可,
∴loga3≤-1=loga
1
a
,即
1
a
≤3,∴
1
3
≤a<1.
综上,使|f(x)|≥1对任意x∈[3,+∞)都成立的a的取值范围是:(1,3]∪[
1
3
,1).
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.