若3x+4y=a和4x+3y=5的解满足x,y为非负数,则a是否存在?为多少?

题目

若3x+4y=a和4x+3y=5的解满足x,y为非负数,则a是否存在?为多少?

答案

3x+4y=a
4x+3y=5
解为
x= (-3a+20)/7
y= (4a-15)/7
要是解为非负数,则有
x= (-3a+20)/7≥0
y= (4a-15)/77≥0
即为不等式组
-3a+20≥0
4a-15≥0
第一个式子解得 a≤20/3
第二个式子解得 a≥15/4
满足15/4≤a≤20/3 的整数有 4,5,6
所以a=4,5,6都为满足条件的a