求抛物线y=x方,y=2x方与直线y=1所围成的图形的面积

题目

求抛物线y=x方,y=2x方与直线y=1所围成的图形的面积

答案

这个图形有两块,我们只算第一象限的一块即可
此时x>0
所以抛物线是x=√y,x=√(y/2)
所以此时对y积分
抛物线交点是原点
所以S=∫(0到1)[√y-√(y/2)]dy
=∫(0到1)[y^(1/2)-√2/2*y^(1/2)]dy
=(2/3)*y^(3/2)-(√2/3)*y^(3/2)(0到1)
=(2-√2)/3
这是第一象限的
所以总面积=2*(2-√2)/3=(4-2√2)/3