已知函数f(x)＝sin2x−23cos2x+3，求函数f（x）的最小正周期及其单调区间．

题目

已知函数f(x)＝sin2x−2

3

cos2x+

3

，求函数f（x）的最小正周期及其单调区间．

答案

f（x）=sin2x-

3

（2cos²x-1）=sin2x-

3

cos2x=2（

1

2

sin2x-

3

2

cos2x）=2sin（2x-

π

3

），
∵ω=2，∴函数f（x）的最小正周期是

2π

2

=π，
当-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
即-

π

12

+kπ≤x≤

5π

12

+kπ，k∈Z时，f（x）单调递增；
当

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，
即

5π

12

+kπ≤x≤

11π

12

+kπ，k∈Z时，f（x）单调递减；
则函数f（x）的单调递增区间[-

π

12

+kπ，

5π

12

+kπ]（k∈Z）；
单调减区间为[

5π

12

+kπ，

11π

12

+kπ]（k∈Z）．

f（x）解析式后两项提取

3

，利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式求出最小正周期；由正弦函数的单调性即可确定出f（x）的单调性．

本题考点：三角函数的周期性及其求法；三角函数中的恒等变换应用．

考点点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握公式是解本题的关键．