如图，△ABC的三条角平分线交于I点，AI交BC于点D． 求证：∠CID+∠ABI=90°．

题目

如图，△ABC的三条角平分线交于I点，AI交BC于点D．
求证：∠CID+∠ABI=90°．

答案

证明：∵I是△ABC的三条角平分线的交点，
∴∠IAC=

1

2

∠BAC，∠ICA=

1

2

∠BCA，∠ABI=

1

2

∠ABC，
由三角形的内角和定理知：
∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°，
∴∠IAC+∠ICA+∠ABI=90°；
由三角形的外角性质知：
∠CID=∠IAC+∠ICA；
故∠CID+∠ABI=90°．