已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数为f′(x),f′(0)>0,对于任意实数x,有f(x)≥0,则f(1)f′(0)的最小值为( ) A.2 B.52 C.3 D.32
题目
已知二次函数f(x)=ax
2+bx+c的导数为f′(x),f′(0)>0,对于任意实数x,有
f(x)≥0,则的最小值为( )
A. 2
B.
C. 3
D.
答案
∵f(x)≥0,知
,∴c
≥.
又f′(x)=2ax+b,
∴f′(0)=b>0,f(1)=a+b+c.
∴
=1+≥1+
=
1+≥1+
=2.
当且仅当4a
2=b
2时,“=”成立.
故选A.
由对于任意实数x,f(x)≥0成立求出a的范围及a,b c的关系,求出f(1)及f′(0),作比后放缩去掉c,通分后利用基本不等式求最值.
导数的运算;函数恒成立问题;基本不等式.
本题考查了函数恒成立问题,考查了导数的运算,训练了利用基本不等式求最值,关键是通过放缩转化为含有两个变量的代数式,是中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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