已知函数f(x)=2x/x+1与函数y=g(x)的图象关于直线x=2对称,(1)求g(x)的表达式;(2)若Φ(x+2)=1/Φ(x),当x∈(-2,0)时,Φ(x)=g(x),求Φ(2005)的值.
题目
已知函数f(x)=
与函数y=g(x)的图象关于直线x=2对称,
(1)求g(x)的表达式;
(2)若Φ(x+2)=
,当x∈(-2,0)时,Φ(x)=g(x),求Φ(2005)的值.
答案
(1)设P(x,y)是g(x)上的任意一点,P关于x=2对称的点的坐标为(x′,y′),
则
,即
,
∵y′=f(x′)=
,
∴y=
=
=,
故
g(x)=(x≠5).
(2)∵Φ(x+2)=
,
∴Φ(x+4)=
=Φ(x),
即Φ(x)是周期为4的周期函数,
则Φ(2005)=Φ(2004+1)=Φ(1)=Φ(-3)=
==
=
==,
故
Φ(2005)=.
(1)根据函数的对称性即可求g(x)的表达式;
(2)根据条件判断函数Φ(x)是周期为4的周期函数,利用函数的周期性进行求值即可.
A:函数的图象与图象变化 B:函数解析式的求解及常用方法 C:函数的值
本题主要考查函数解析式的求解以及函数值的计算,利用函数对称性是解决本题的关键.根据条件判断函数的周期性是求值的突破.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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