离心率为根号2/2,且椭圆过圆C:x2+y2-4x+2根号2y=0的圆心C

题目

离心率为根号2/2,且椭圆过圆C:x2+y2-4x+2根号2y=0的圆心C
已知椭圆的中心在原点,焦点在X轴上,离心率为二分之根号二,而且椭圆经过圆C:X2+Y2-4x+2√2y＝0的圆心.①求椭圆方程.②,设直线l过椭圆的焦点与圆相切,求直线l方程

答案

①圆C:X²+Y²-4x+2√2y＝0
即(x-2)²+(y+√2)²=6,圆心（2,-√2）
设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1
c/a=√2/2,4/a²+2/b²=1
a²=b²+c²
解得a²=8 ,b²=4
椭圆方程为x²/8+y²/4=1
②椭圆x²/8+y²/4=1焦点F1(-2,0),F2(2,0)
显然F2在圆C内,F1在圆C外
设过F2的圆C的切线方程为：y=k(x+2)
即kx-y+2k=0
|2k+√2+2k|/√(k²+1)=√6
解得k=-√2 或k=√2 / 5
所以切线方程为：√2 x+y+2√2=0或√2 x-5y+2√2=0