x,y,z均为正实数 x+2y+3z=78 x^2+y^2+z^2=468 x的最大值可以被表示为a/b且a,b互质 求a+b的值

题目

x,y,z均为正实数 x+2y+3z=78 x^2+y^2+z^2=468 x的最大值可以被表示为a/b且a,b互质 求a+b的值

答案

有题可知2y+3z=78-x(1),y^2+z^2=468-x^2(2).由柯西不等式可知(2^2+3^2)*(y^2+z^2)>=(2y+3z)^2（当2z=3y时取等号）,即13*(468-x^2)>=(78-x)^2,化简得x(7x-78)<=0,因为x>0,所以x<=78/7,于是a=78,b=7,a+b=85.