已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，a1+a5=6，S9=63． （1）求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn； （2）数列{bn}满足：对∀n∈N*，bn＝2an，求数列{an•bn}

题目

已知数列{a_n}为等差数列，S_n为其前n项和，a₁+a₅=6，S₉=63．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n及前n项和S_n；
（2）数列{b_n}满足：对∀n∈N

答案

（1）∵S₉=63，∴9a₅=63，解得a₅=7．
∵a₁+a₅=6，∴a₁=-1，
∴d=

a5−a1

4

＝2，
∴a_n=2n-3，Sn＝n2−2n．
（2）∵a_n=2n-3，bn＝2an，
∴bn＝22n−3，
∴a_n•b_n=（2n-3）•2^2n-3，
Tn＝−1•2−1+1•21+3•23+5•25+…+（2n-3）•2^2n-3，
4T_n=-1×2¹+1•2³+3•2⁵+…+（2n-5）•2^2n-3+（2n-3）•2^2n-1，
两式相减，得：-3T_n=-

1

2

+2(2+23+25+…+22n−3)−(2n−3)•22n−1
=-

1

2

+2•

2(1−22(n−1))

1−22

−(2n−3)•22n−1
=

(11−6n)•22n−11

6

，
Tn＝

(6n−11)•22n+11

18

．