已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两点. (Ⅰ)若AF=2FB,求直线AB的斜率; (Ⅱ)设点M在线段AB上运动,原点O关于点M的对称点为C,求四边形OACB面积的最小值.
题目
已知抛物线y
2=4x的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两点.
(Ⅰ)若
=2,求直线AB的斜率;
(Ⅱ)设点M在线段AB上运动,原点O关于点M的对称点为C,求四边形OACB面积的最小值.
答案
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/4afbfbedab64034f87fb04b7acc379310a551d49.jpg)
(本小题满分13分)
(Ⅰ)依题意F(1,0),设直线AB方程为x=my+1. …(1分)
将直线AB的方程与抛物线的方程联立,消去x得y
2-4my-4=0. …(3分)
设A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),所以 y
1+y
2=4m,y
1y
2=-4. ①…(4分)
因为
=2,
所以 y
1=-2y
2. ②…(5分)
联立①和②,消去y
1,y
2,得
m=±. …(6分)
所以直线AB的斜率是
±2. …(7分)
(Ⅱ)由点C与原点O关于点M对称,得M是线段OC的中点,
从而点O与点C到直线AB的距离相等,
所以四边形OACB的面积等于2S
△AOB. …(9分)
因为
2S△AOB=2ו|OF|•|y1−y2|…(10分)
=
=4,…(12分)
所以 m=0时,四边形OACB的面积最小,最小值是4. …(13分)
(Ⅰ)依题意F(1,0),设直线AB方程为x=my+1.将直线AB的方程与抛物线的方程联立,得y2-4my-4=0.由此能够求出直线AB的斜率.
(Ⅱ)由点C与原点O关于点M对称,得M是线段OC的中点,从而点O与点C到直线AB的距离相等,所以四边形OACB的面积等于2S△AOB.由此能求出四边形OACB的面积最小值.
直线与圆锥曲线的关系;直线的斜率.
本题考查直线斜率的求法,考查四边形面积的最小值的求法,综合性强,难度大,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化.
举一反三
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