已知a、b、c均为整数,且a、b、c均互质,满足ab+bc=ac,证明:a-b是完全平方数.

题目

已知a、b、c均为整数,且a、b、c均互质,满足ab+bc=ac,证明:a-b是完全平方数.

答案

ab+bc=ac
所以ac-ba-bc+b^2=b^2
即(a-b)(c-b)=b^2
于是可以设a-b=m^2*p,c-b=n^2*p（m,n,p均为整数）
其中p不是完全平方数,则b=|mpn|(mpn的绝对值)
可见p是b的约数
又因为a-b=m^2*p,a=b+m^2*p=|mpn|+m^2*p
可见p也是a的约数,又因为a,b,c互质,所以只能是p=1或者-1
所以a-b=m^2或者-m^2
所以只能得到a-b的绝对值是平方数,你给的条件不足以得到a-b>0