设定义在R上的函数满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x,有且仅有一个x0,使f(x0)=x0,求f(x)的解析式

题目

设定义在R上的函数满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x,有且仅有一个x0,使f(x0)=x0,求f(x)的解析式

答案

则f(f(x0)-x0^2+x0)=f(x0)-x0^2+x0,由于
f(x0)=x0,则
f(2x0-x0^2)=2x0-x0^2
设2x0-x0^2=t,实数t使得f(t)=t,由于有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0
所以t=x0
2x0-x0^2=x0
x0=x0^2
于是x0=0或x0=1
由第一问的结论知,x0=1 {注：由于第一问已经有f(1)=1,如果f(0)=0,x0就不唯一了}
由于f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x且只有当t=1时满足f(t)=t
那么对于任意的x一定有f(x)-x2+x=1 {注：否则x0就不唯一了}
所以f(x)=x^2-x+1