设a＞0，函数f(x)＝x+a2x，g(x)＝x−lnx，若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，则实数a的取值范围为_．

题目

设a＞0，函数f(x)＝x+

a2

x

，g(x)＝x−lnx，若对任意的x₁，x₂∈[1，e]，都有f（x₁）≥g（x₂）成立，则实数a的取值范围为______．

答案

∵g（x）=x-lnx∴g'（x）=1-1x，x∈[1，e]，g'（x）≥0 函数g（x）单调递增g（x）的最大值为g（e）=e-1∵f（x）=x+a2x∴f'（x）=x 2−a2x 2，令f'（x）=0∵a＞0∴x=a当0＜a＜1 f（x）在[1，e]上单调增 f（...

先对函数g（x）求导判断出函数g（x）的单调性并求其最大值，然后对函数f（x）进行求导判断单调性求其最小值，最后令函数f（x）的最小值大于等于函数g（x）的最大值即可．

本题考点：利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．