已知菱形ABCD的边长为6，∠A=60°，如果点P是菱形内一点，且PB=PD=23，那么AP的长为 _ ．

题目

已知菱形ABCD的边长为6，∠A=60°，如果点P是菱形内一点，且PB=PD=2

3

，那么AP的长为 ___ ．

答案

当P与A在BD的异侧时：连接AP交BD于M，
∵AD=AB，DP=BP，
∴AP⊥BD（到线段两端距离相等的点在垂直平分线上），
在直角△ABM中，∠BAM=30°，
∴AM=AB•cos30°=3

3

，BM=AB•sin30°=3，
∴PM=

PB2-BM2

=

3

，
∴AP=AM+PM=4

3

；
当P与A在BD的同侧时：连接AP并延长AP交BD于点M
AP=AM-PM=2

3

；
当P与M重合时，PD=PB=3，与PB=PD=2

3

矛盾，舍去．
AP的长为4

3

或2

3

．
故答案为4

3

或2

3

．

根据题意得，应分P与A在BD的同侧与异侧两种情况进行讨论．

本题考点：菱形的性质．

考点点评：本题注意到应分两种情况讨论，并且注意两种情况都存在关系AP⊥BD，这是解决本题的关键．