（a,b）的最大公因数 为什么和（a,ka+b）的相等,a,b,k都是自然数

题目

（a,b）的最大公因数 为什么和（a,ka+b）的相等,a,b,k都是自然数

答案

(a,b)已经是最大公约数的符号了,不应该说（a,b）的最大公因数
证明：先证明a,b的公约数与ka+b的公约数是相同的.
首先证明a,b的公约数是ka+b的公约数
这很显然,设m是a,b的最大公因数,则m可以整除a,m可以整除b,则m一定可以整除ka+b,详细过程不写.
然后证明ka+b的公约数是a,b的公约数
设 t是ka+b的公约数,a=pt ka+b=qt ,p,q为整数
则b=qt - ka=qt-kpt=(q-kp)t q-kp是整数,所以t可以整除b,即t也是a,b的公约数.
综上,a,b的公约数是ka+b的公约数,且ka+b的公约数是a,b的公约数,所以a,b的公约数与ka+b的公约数是相同的.
既然公约数相同,那么公约数中最大的一个即最大公约数也一样.
我的证明也许并不完善,不过应该能让你理解.