设f（x）在[0,a]连续,在（0,a）可导,证明存在ξ∈（0,a）...

题目

设f（x）在[0,a]连续,在（0,a）可导,证明存在ξ∈（0,a）...
设f（x）在[0,a]连续,在（0,a）可导,证明存在ξ∈（0,a）使f'（ξ）＋f（ξ）/ξ=0,

答案

如果f(x)=x,这道题不就证不了了吗?呃……我加一个条件吧,f（a）=0,这样好一点.设一个辅助函数F(x)=xf(x),显然有F(x)在[0,a]连续,在（0,a）可导,又因为F(0)=F(a)=0,根据罗尔中值定理,存在ξ∈（0,a）使F'(ξ)=ξf'（ξ）＋f（ξ）=0 成立,又因为ξ不会为0,上式两端除以ξ即可得证.