设A是实可逆对称矩阵,B是反对称矩阵且AB=BA证明A+B是可逆矩阵

题目

设A是实可逆对称矩阵,B是反对称矩阵且AB=BA证明A+B是可逆矩阵
写出A的实对称分解：A＝QDQ^T，Q正交，D对角，且D＝diag(a1E，...akE)，ai是互不相同的特征值。
对应的B分块，AB＝BA知道对应的Q^TBQ是块对角阵，每一个对角块都是反对称的，而aiE+反对称阵是可逆的，
{(aiE+B)(aiE+B)'=(aiE+B)(aiE-B)=(ai^2)E+BB'，BB'为正定或半正定，与数量阵之和为正定}
by mscheng19

答案

写出A的实对称分A＝QDQ^T,Q正交,D对角,且D＝diag(a1E,...,akE),ai是互不相同的特征值.
对应的B分块,AB＝BA知道对应的Q^TBQ是块对角阵,每一个对角块都是反对称的,而aiE+反对称阵是可逆的,
{(aiE+B)(aiE+B)'=(aiE+B)(aiE-B)=(ai^2)E+BB',BB'为正定或半正定,与数量阵之和为正定}