设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B=AC的秩为r1，则（　　） A.r＞r1 B.r＜r1 C.r=r1 D.r与r1的关系依C而定

题目

设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B=AC的秩为r₁，则（　　）
A. r＞r₁
B. r＜r₁
C. r=r₁
D. r与r₁的关系依C而定

答案

∵C是n阶可逆矩阵
∴C可以表示成若干个初等矩阵之积，即
C=P₁P₂…P_s，其中P_i（i=1，2，…，s）均为初等矩阵．
而：B=AC，
∴B=AP₁P₂…P_s，
即B是A经过s次初等列变换后得到的，又初等变换不改变矩阵的秩
∴r（B）=r（AC）=r（A）=r₁
故选：C．