已知f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）=x2+3x+2，若当x∈[1，3]时，n≤f（x）≤m恒成立，则m-n的最小值为_．

题目

已知f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）=x²+3x+2，若当x∈[1，3]时，n≤f（x）≤m恒成立，则m-n的最小值为______．

答案

∵当x＜0时，f（x）=x²+3x+2，，
∴当x∈[-1，-3]时，在[-3，-

3

2

]上，函数为减函数，在[-

3

2

，-1]上为增函数
可得f（x）在[-1，-3]上的最小值为f（-

3

2

）=(−

3

2

) 2 −

3

2

•3+2＝−

1

4

最大值为f（-3）=（-3）²-3×3+2=2
∴当x∈[-1，-3]时，−

1

4

≤f(x)≤2
又∵y=f（x）是奇函数，
∴当1≤x≤3，时-f（x）=f（-x）∈[−

1

4

，2]
即−2≤f(x)≤

1

4

∵当x∈[1，3]时，n≤f（x）≤m恒成立
∴区间[-2，

1

4

]⊆[n，m]⇒m-n≥

1

4

−(−2)＝

9

4

故答案为：

9

4