已知函数f(x)=ax2+(2a-1)x-3在区间[−3/2,2]上的最大值为1,求实数a的值.

已知函数f(x)=ax2+(2a-1)x-3在区间[−3/2,2]上的最大值为1,求实数a的值.

题目
已知函数f(x)=ax2+(2a-1)x-3在区间[−
3
2
,2]
答案
a=0时,f(x)=-x-3,f(x)在[−
3
2
,2]
上不能取得1,
故a≠0,则f(x)=ax2+(2a-1)x-3(a≠0)的对称轴方程为x0=
1−2a
2a

①令f(−
3
2
)=1
,解得a=-
10
3

此时x0=-
23
20
∈[−
3
2
,2]

∵a<0,∴f(x0)最大,所以f(−
3
2
)=1
不合适;
②令f(2)=1,解得a=
3
4

此时x0=-
1
3
∈[−
3
2
,2]

因为a=
3
4
>0,x0=−
1
3
∈[−
3
2
,2]
且距右端2较远,所以f(2)最大合适;
③令f(x0)=1,得a=
1
2
(−3±2
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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