已知等比数列AN的前N项和,SN=2^N-A则a1^2+a2^2+a3^2+.+an^2等于

题目

已知等比数列AN的前N项和,SN=2^N-A则a1^2+a2^2+a3^2+.+an^2等于

答案

由已知Sn=2^n - a则：
S(n-1)=2^(n-1) - a
两式相减,得：
an=2^n - 2^(n-1) =2^(n-1)
a1=2^(1-1) =1
a2=2^(2-1)=2
a3=2^(3-1)=4
a4=2^(4-1)=8.
所以,数列{an}是以首项为1,公比为2的等比数列
则：
a1^2=1
a2^2=4
a3^2=16
a4^2=64.
因此,a1^2+a2^2+...+an^2可看作是以首项为1,公比为4的等比数列求和,则：a1^2+a2^2+.+an^2=(1-4ⁿ)/(1-4)=(4ⁿ -1)/3