如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，O为AB上一点，以O为圆心、OB长为半径的圆交BC于D，DE⊥AC交AC于E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若⊙O与AC相切于F，AB=AC=5cm，

题目

如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，O为AB上一点，以O为圆心、OB长为半径的圆交BC于D，DE⊥AC交AC于E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O与AC相切于F，AB=AC=5cm，sinA=

3

5

，求⊙O的半径的长．

答案

证明：（1）连接OD，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC．
又DE⊥AC，
∴DE⊥OD．
∴DE是⊙O的切线．
（2）⊙O与AC相切于F点，连接OF，
则：OF⊥AC．
在Rt△OAF中，sinA=

OF

OA

＝

3

5

，
∴OA=

5

3

OF，
又AB=OA+OB=5，
∴

5

3

OF+OF＝5．
∴OF=

15

8

cm．