已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，f（x）＞0，试判断f（x）在（0，+∞）上的单调性．

题目

已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，f（x）＞0，试判断f（x）在（0，+∞）上的单调性．

答案

设0＜x₁＜x₂，则f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]=f（x₁）+f（x₂-x₁）
又∵x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＞0，∴f（x₁）+f（x₂-x₁）＞f（x₁），
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．