已知x²+y²=25,求4x-3y的最大值和最小值

题目

已知x²+y²=25,求4x-3y的最大值和最小值

答案

25＝x²+y²
＝(4x)²/16+(-3y)²/9
≥(4x-3y)²/(16+9)
→-25≤4x-3y≤25.
所求最大值为：25；
所求最小值为：-25.
本题目的解法灰常多,再举两个：
①设4x-3y＝t,
则此直线与圆心(0,0)的距离不大于半径5,
∴|4×0-3×0-t|/5≤5→-25≤t≤25.
故所求最大值为25,最小值为：-25.
②依题意可设x＝5cosα,y＝5sinα.
∴4x-3y
＝20cosα-15sinα
＝25cos(α+φ) (其中,tanφ＝3/4)
∴cos(α+φ)＝1时,最大值为25；
cos(α+φ)＝-1时,最小值为-25.
③构造向量m＝(x,y),n＝(4,-3).
依向量模不等式|m|·|n|≥|m·n|,得
(4x-3y)^2≤(x^2+y^2)[4^2+(-3)^2]＝25^2,
∴-25≤4x-3y≤25.
所求最大值为25,所求最小值为-25.
还有其他解法,如：判别式法、构造复数法等等,就不一一列出了.