有依次排列的三个数

题目

有依次排列的三个数
依次排列三个数：3,9,8,对于任意相邻的两个数,都是用右边的数减去左边的数所得之差写在这两个数之间,可产生一个新数串：3,6,9,-1,8,继续一次操作.第二次做同样的操作后也可产生一个新数串：3,3,6,3,9,-10,-1,9,8.继续依次下去问：
（1）第一次操作后增加的新数之和是多少?
（2）第二次操作后所得的数比第一次操作后所得的数串增加的新数之和是多少?
(3)第100次操作后得到的数串比第99次操作后所得的数串增加的新数之和是多少?

答案

（1）新增数的和为 6+(-1)=5 .
（2）新增数的和为 3+3+(-10)+9=5 .所有数的和为 (3+9+8)+5+5=30 .
（3）可以证明,每次操作,新增的数的和均为 5 .
设上次操作后的数列为 3,a1,a2,.,an,8 ,
则本次操作后,新增的数之和为
(a1-3)+(a2-a1)+(a3-a2)+.+[an-a(n-1)]+(8-an)=8-3=5 ,
由此可得,第100次操作后,所有数的和为 3+9+8+100*5=520 .