在四面体ABCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,AD与平面BCD所成的角为30°,AB=BC,AD与平面BCD所成的角为30 （1）求AD与平面ABC所成的角 (2)AC与平面ABD所成的角

题目

在四面体ABCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,AD与平面BCD所成的角为30°,AB=BC,AD与平面BCD所成的角为30 （1）求AD与平面ABC所成的角 (2)AC与平面ABD所成的角

答案

因为AB⊥面BCD,所以AB⊥CD,
又因为BC⊥CD,所以CD⊥面ABC
所以AD与平面ABC所成的角,就是角DAC.
设AB=BC=1,则：AC=根号2,AD=2,BD=根号3,CD=根号2
所以,角DAC=45度.
作CE⊥BD交BD于点E,则：
因为因为AB⊥面BCD,所以AB⊥CE,
又因为CE⊥BD,所以CE⊥面ABD
所以AC与平面ABD所成的角,就是角CAE
因为CE=（根号6）/3,所以sin角CAE=CE/AC=（根号3）/3
所以角CAE=arcsin[（根号3）/3]