125*127*129*131*133*...*163*165*167*169的末三位数是多少?

题目

125*127*129*131*133*...*163*165*167*169的末三位数是多少?

答案

显然这个数不含因数2,含因数5的个数较多.
求末三位数即求原数被1000除的余数.
根据125*8=1000,即可分别求被125、8除得的余数情况来确定.
这个数显然能被125整除,末三位必是125的倍数（且是奇数）：
125、375、625、875
再求被8除的余数情况.
原各乘数：125、127、129、131、133……等被8除分别余
5、7、1、3、5、7、1、3…… 每4个数一循环.
[(169 - 125 ) ÷2 + 1 ] ÷ 4 = 5 …… 余3
即共5个循环,剩3个数
则连乘积被8除的余数,等价于下数被8除的余数：
= (5*7*1*3)^ 5 * (5*7*1)
= 105^ 5 * 35
因105被8除余1、35被8除余3,此数等价于下数被8除的余数,
= 1^5 * 3
= 3
考察125、375、625、875 被8除的余数,分别是5、7、1、3
则875 符合被8除余3.
综上,连乘积的末三位就是875