已知M(x1,y1),N(x2,y2)是直线l:Ax+By+C=0外的两点,且直线MN交l于P点,求P点分向量MN的比λ.

题目

已知M(x1,y1),N(x2,y2)是直线l:Ax+By+C=0外的两点,且直线MN交l于P点,求P点分向量MN的比λ.
λ=-(Ax1+By1+C)/(Ax2+By2+C)

答案

设向量PM=λ向量PN,因P分MN为两段,故M,N在直线l两侧
∴λ=向量PM/向量PN=-向量PM/向量NP=-PM/PN
将M,N投影到直线l上,设投影点分别为S,T,则点M,N到直线的距离即为MS,NT
则有 △PMS∽△PNT => λ=-PM/PN=-MS/NT
由点到直线距离公式,有
MS=(Ax1+by1+C)/√(A^2+B^2)
NT=(Ax2+by2+C)/√(A^2+B^2)
∴λ=-MS/NT=-(Ax1+by1+C)/(Ax2+by2+C)