如图,在锐角三角形ABC中,BC=12,△ABC的面积为48,D,E分别是边AB,AC上的两个动点(D不与A,B重合),且保持DE∥BC,以DE为边,在点A的异侧作正方形DEFG. (1)当正方形DE

如图,在锐角三角形ABC中,BC=12,△ABC的面积为48,D,E分别是边AB,AC上的两个动点(D不与A,B重合),且保持DE∥BC,以DE为边,在点A的异侧作正方形DEFG. (1)当正方形DE

题目
如图,在锐角三角形ABC中,BC=12,△ABC的面积为48,D,E分别是边AB,AC上的两个动点(D不与A,B重合),且保持DE∥BC,以DE为边,在点A的异侧作正方形DEFG.
(1)当正方形DEFG的边GF在BC上时,求正方形DEFG的边长;
(2)设DE=x,△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y,试求y关于x的函数关系式,写出x的取值范围,并求出y的最大值.
答案

(1)当正方形DEFG的边GF在BC上时,如图(1),过点A作BC边上的高AM,交DE于N,垂足为M.
∵S△ABC=48,BC=12,∴AM=8,
∵DE∥BC,△ADE∽△ABC,
DE
BC
AN
AM

而AN=AM-MN=AM-DE,∴
DE
12
8−DE
8

解之得DE=4.8.∴当正方形DEFG的边GF在BC上时,正方形DEFG的边长为4.8,

(2)分两种情况:
①当正方形DEFG在△ABC的内部时,
如图(2),△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为正方形DEFG的面积,
∵DE=x,∴y=x2
此时x的范围是0<x≤4.8,
②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时,
如图(3),设DG与BC交于点Q,EF与BC交于点P,
△ABC的高AM交DE于N,
∵DE=x,DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,
DE
BC
AN
AM
,而AN=AM-MN=AM-EP,
x
12
8−EP
8
,解得EP=8-
2
3
x.
所以y=x(8-
2
3
x),即y=-
2
3
x2+8x,
由题意,x>4.8,且x<12,所以4.8<x<12;
因此△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积需分两种情况讨论,
当0<x≤4.8时,△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为4.82=23.04,
当4.8<x<12时,因为y=−
2
3
x2+8x

所以当x=−
8
2×(−
2
3
)
=6
时,
△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为二次函数的最大值:y最大=-
2
3
×62+8×6=24;
因为24>23.04,
所以△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为24.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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