一道有关数轴的问题

题目

一道有关数轴的问题
点A,点B在数轴上分别表示数a,数b,AB两数之间的距离为|AB|.
当AB两数中有一数在原点时,就设A在原点,|AB|=|OA|-|OB|=|b|-|a|=b-a=|a-b|；当AB两数都在原点左边时,|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=-b-(-a)=|a-b|;当AB两数都在原点右边时,|AB|=|OB|-|OA|=|a|+|b|=a+(-b)=|a-b|
综上,|AB|=|a-b|
当代数式|x+1|+|x-2|取最小值时,相应的x取值范围是（ ）.
试求|x-1|+|x-2|+|x-3|+.+|x-1997|的最小值.

答案

原式的绝对值共有1997项,最中间的那一项是|x-999|,所以只需取x=999,它们的和就可以获得最小值,原式可以展开为：原式=|999-1|+|999-2|+...+|999-998|+|999-999|+|999-1000|+...+|999-1997| =998+997+...+1+0+1+...+99...