xlnx+ylny-(x+y)ln((x+y)/2)用单调性证明此式子为什么大于0

题目

xlnx+ylny-(x+y)ln((x+y)/2)用单调性证明此式子为什么大于0

答案

说明：所与式子仅当x>0,且y>0时有意义,因此本问题也只能在此范围内讨论；其次本问题宜使用函数的凹凸性证明,而不是单调性；最后,x=y时该式子等于0,故应有x≠y的条件.
证明：考虑函数f(x)=xlnx
因为f'(x)=lnx+1,f"(x)=1/x,当x>0时,恒成立f"(x)>0,故f(x)是凹函数,由凹函数定义：当x>0,且y>0（x≠y)时,(1/2)[f(x)+f(y)]>(1/2)f[(x+y)/2),所求证的命题成立.