设x²-px+q=0的两实根α,β

题目

设x²-px+q=0的两实根α,β
(1)求以α³,β³为两根的一元二次方程（2）若α³,β³为根的一元二次方程仍是x²-px+q=0,求所有这样的一元二次方程

答案

α^3+β^3=(α+β)(α^2-αβ+β^2)=p(p^2-3q)
(αβ)^3=q^3
(1)x^2-p(p^2-3q)x+q^3=0
(2)对比两个方程,则有p=p(p^2-3q),q^3=q
则根据前面的等式可以解出p=0或p^2-3q-1=0且p不等于0.
后面等于可解出q=1或q=0或q=-1.
当p=0时,q=0时,方程为x^2=0
当p=0时,q=-1.方程为x^2-1=0
当p^2-3q-1=0且p不等于0时,
若q=0时,p=1或-1.满足.即x^2+x=0或x^2-x=0
若q=1时,p^2-4=0,则p=2或-2,满足.即x^2-2x+1=0或x^2+2x+1=0
若q=-1时,p^2+4=0,p无实数解.
则满足要求的一元方程如下：
有6组,如下
x^2=0或x^2-1=0或x^2+x=0或x^2-x=0或x^2-2x+1=0或x^2+2x+1=0