三角形ABC中,tanA是以 -4 为第三项,-1 为第七项的等差数列的公差,tanB是以1/2为第三项,4为第六项的等比数列的公式.证明：三角形ABC是等腰锐角三角形

题目

三角形ABC中,tanA是以 -4 为第三项,-1 为第七项的等差数列的公差,tanB是以1/2为第三项,4为第六项的等比数列的公式.证明：三角形ABC是等腰锐角三角形

答案

证明：以 -4 为第三项,-1 为第七项的等差数列的公差为3/4,则tanA=3/4;
以1/2为第三项,4为第六项的等比数列的公比为2,则tanB=2;
tanC=tan(π-A-B)=-tan(A+B)=-(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=11/2;
则tanA=3/4>0,tanB=2>0,tanC=11/2>0,
所以角A、B、C均为锐角,
所以△ABC为锐角三角形,但不是等角三角形
若将“tanA是以 -4 为第三项,-1 为第七项的等差数列的公差”改为“tanA是以 -5 为第四项,-1 为第七项的等差数列的公差”,
则tanA=4/3>0,
则tanC=2=tanB>0,
此时三角形为等腰锐角三角形