椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为1/2,且其中心关于x-3y-10=0的对称点在右准线上.(1) 求C的方

题目

椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为1/2,且其中心关于x-3y-10=0的对称点在右准线上.(1) 求C的方
椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为1/2,且其中心关于x-3y-10=0的对称点在右准线上.
(1）求C的方程.
(2) A（m,0）B（1/m,0）(0

答案

事实上只要证明M,E关于x轴对称就可以了,这个是很容易猜的
因为m任取,如果m很小,那么B就在x轴很远,但是仍然要保持等腰
只可能是M,E关于x轴对称,这样我们可以构造点E出来
证明N,E,B三点共线
设M(x1,y1),N(x2,y2),E(x1,-y1)
MN:x=m+ky
这样x1y2+x2y1=m(y1+y2)+2ky1y2
将MN和椭圆联立：
My^2+2mky+m^2-1=0(二次项系数是多少我们并不感兴趣,只要找个数代替就可以了)
要证明B,N,E共线,写出NE方程,只要证明B代进去方程=0就可以了
这个条件就是
1/m*(y1+y2)=x1y2+x2y1,根据前面计算也就是要证
(1-m^2)(y1+y2)=2mky1y2
根据韦达定理
(y1+y2)/y1y2=2mk/(1-m^2)
所以得证
因此B,N,E共线
所以M,E关于x轴对称
所以等腰
证毕