设等比数列{zn}中,其中z1=1,z2=a+bi,z3=b+ai (a,b属于R,a>0)

题目

设等比数列{zn}中,其中z1=1,z2=a+bi,z3=b+ai (a,b属于R,a>0)
1.求a,b的值
2.求使z1+z2+……+zn=0的最小正整数n
3.对（2）中正整数n,求z1*z2*z3……*zn

答案

解1.因为{zn}是等比数列
则z2²=z1 z3 所以 (a+bi) ²=b+ai
即a²-b²+2abi= b+ai,a,b属于R,a>0
a²-b²=b
2ab=a
解得a=√3/2 b=1/2
2.z2=√3/2+1/2i
所以公比q=√3/2+1/2i
即前N项和Sn=z1+z2+……+zn=[1-(√3/2+1/2i)^ n]/( 1-√3/2-1/2i)=0
则(√3/2+1/2i)^ n=1
而√3/2+1/2i=cosл/6+sinл/6 i
即(√3/2+1/2i)^ n= cos nл/6+sin nл/6 i=1
则cos nл/6=1
所以nл/6=2kл（k=1,2,3,…..）,n=12k
则n的最小值为12
3.Zn= （cosл/6+sinл/6 i）^ （n-1）
所以z1*z2*z3……*z12=1（cosл/6+sinл/6 i）（cos2л/6+sin2л/6 i）……（cos11л/6+sin11л/6 i）=[cos（л/6+2л/6+….11л/6）+sin（л/6+2л/6+….11л/6） i]
= cos11л+sin11i
=-1