椭圆x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的内接矩形的最大面积是_．

题目

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

＝1（a＞b＞0）的内接矩形的最大面积是______．

答案

根据椭圆的参数方程可设：

x＝acosθ y＝bsinθ

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

＝1（a＞b＞0）的内接矩形的面积为：
S=4|xy|=4a|cosθ×bsinθ|=2ab|sin2θ|≥2ab
当|sin2θ|=1时取等号，
∴椭圆

x2

a2

+

y2

b2

＝1（a＞b＞0）的内接矩形的最大面积是2ab．
故答案为：2ab．

先根据椭圆的参数方程可设：

x＝acosθ y＝bsinθ

，则椭圆

x2

a2

+

y2

b2

＝1（a＞b＞0）的内接矩形的面积可利用三角函数表示，最后结合三角函数的性质即可求得当|sin2θ|=1椭圆

x2

a2

+

y2

b2

＝1（a＞b＞0）的内接矩形的最大面积．

本题考点：椭圆的简单性质．

考点点评：本小题主要考查椭圆的简单性质、椭圆的参数方程、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．