已知:如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,AD与BE相交于点H,且BH=AC,DH=DC. (1)求∠ABC的度数, (2)BE与AC有怎样的位置关系,请说明理由.
题目
已知:如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,AD与BE相交于点H,且BH=AC,DH=DC.
(1)求∠ABC的度数,
(2)BE与AC有怎样的位置关系,请说明理由.
答案
(1)∵AD⊥BC,
∴∠BDH=∠ADC=90°,
在Rt△BDH和Rt△ADC中,
,
∴Rt△BDH≌Rt△ADC(HL),
∴AD=BD,
∴∠BAD=∠ABD,
∵∠ADB=90°,
∴∠ABC=
×(180°-90°)=45°.
(2)BE⊥AC,
理由是:∵Rt△BDH≌Rt△ADC,
∴∠CAD=∠HBD,
∵∠ADB=90°,
∴∠HBD+∠BHD=90°,
∵∠BHD=∠AHE,
∴∠AHE+∠CAD=90°,
∴∠AEH=180°-90°=90°,
∴BE⊥AC.
(1)求出∠BDE=∠ADC=90°,根据HL证Rt△BDH≌Rt△ADC,推出AD=BD,推出∠BAD=∠ABD即可.
(2)根据Rt△BDH≌Rt△ADC得出∠CAD=∠HBD,求出∠HBD+∠BHD=90°,即可求出∠AHE+∠CAD=90°,根据三角形内角和定理求出∠AEH=90°,即可得出答案.
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