设a是实数,f(x)=1/(（3^x）+1)+a,(1)试证明:对于任意a,f(x)在R为减函数(2)试确定a的值,使f（x）为奇函数

题目

设a是实数,f(x)=1/(（3^x）+1)+a,(1)试证明:对于任意a,f(x)在R为减函数(2)试确定a的值,使f（x）为奇函数

答案

（1）设x1和x2在f(x)定义域内,且x1f(x1)-f(x2)=1/(（3^x1）+1)+a-1/(（3^x2）+1)-a=1/(（3^x1）+1)-1/(（3^x2）+1)
=(3^x2-3^x1)/[(3^x1+1)(3^x2+1)]
∵x1所以f(x1)-f(x2)=(3^x2-3^x1)/[(3^x1+1)(3^x2+1)]>0
所以f(x)在R为减函数
（2）若f(x)为奇函数,则f(0)=1/(1+1)+a=0
解得a=-1/2
此时f(x)=1/(3^x+1)-1/2
f(-x)=1/(3^-x+1)-1/2=3^x/(3^x+1)-1/2=1/2-1/(3^x+1)=-f(x) f(x)为奇函数
所以a=-1/2